Question

4．如圖，已知△ABC，分別以AB、AC、BC作邊作正方形ABKH、正方形ACFG、正方形BCDE，作?BEPK，?CDQF，聯(lián)結(jié)AP，AQ，PQ，求證：△APQ是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC=CD，AC=CF，由平行四邊形的性質(zhì)得到CD=FQ，CD∥FQ，得到BC=FQ，∠CFQ+∠DCF=180°，求得∠CFQ=∠ACB，推出△ABC≌△CQF，由全等三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠QCF，AB=CQ，同理∠PBK=∠BAC，PB=AC，證得△ABP≌△QCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=AQ，∠BAP=∠CQA，由三角形的內(nèi)角和得到∠PAB+∠APB+∠PBK+∠ABK=180°，于是得到∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°-∠ABK=180°-90°=90°，即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形BCDE，ACFG是正方形，
∴BC=CD，AC=CF，
在?CDQF中，∵CD=FQ，CD∥FQ，
∴BC=FQ，∠CFQ+∠DCF=180°，
∵∠DCF+∠ACB=180°，
∴∠CFQ=∠ACB，
在△CFQ與△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CF}\\{∠ACB=∠CFQ}\\{BC=QF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CQF，
∴∠BAC=∠QCF，AB=CQ，
同理∠PBK=∠BAC，PB=AC，
∵∠ABK=∠ACF=90°，
∴∠ABP=∠QCA，
在△ABP與△QCA中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=AC}\\{∠ABP=∠QCA}\\{AB=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QCA，
∴AP=AQ，∠BAP=∠CQA，
∵∠PAB+∠APB+∠PBK+∠ABK=180°，
∴∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°-∠ABK=180°-90°=90°，
∴∠PAQ=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和．熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．