Question

在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個如圖所示的直角三角形紙片AOB，已知OA=2，∠AOB=30度．D、E兩點同時從原點O出發(fā)，D點以每秒

3

個單位長度的速度沿x軸正方向運動，E點以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，設(shè)D、E兩點的運動時間為t秒．
（1）點A的坐標(biāo)為

 

，點B的坐標(biāo)為

 

；
（2）在點D、E的運動過程中，直線DE與直線OA垂直嗎？請說明理由；
（3）當(dāng)時間t在什么范圍時，直線DE與線段OA有公共點？
（4）將直角三角形紙片AOB在直線DE下方的部分沿DE向上折疊，設(shè)折疊后重疊部分面積為S，請寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據(jù)直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據(jù)勾股定理可以求得OB=

3

；所以可以求得點A與點B的坐標(biāo)．
（2）如果連接DE，那么根據(jù)D、E兩點的速度可得出OD：OE=

3

，因此直角三角形ODE中，∠OED=60°，而已知了∠AOB=30°，即可得出OA⊥DE．
（3）本題只需考查直線DE過O，A兩點時，t的取值即可．
（4）本題要分三種情況進行討論．
①當(dāng)0≤t≤

2 3

3

時，重合部分是三角形．
②當(dāng)

2 3

3

＜t≤

3

時，重合部分是四邊形．
③當(dāng)

3

＜t≤

4 3

3

時，重合部分是三角形．
可據(jù)此來求出S，t的關(guān)系式，以及S的最大取值．

解答：解：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據(jù)直角三角形中30°所對的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據(jù)勾股定理可以求得OB=

3

；則點A的坐標(biāo)為（1，

3

），點B的坐標(biāo)為（0，

3

）；

（2）垂直．
理由：連接DE，直角三角形ODE中，tan∠OED=

OD

OE

=

3

，
∴∠OED=60°．
∵∠BOA=30°，
∴OA⊥ED．

（3）因為DE總是垂直于OA運動，因此可以看做直線DE沿OA方向進行運動．因此兩者有公共點的取值范圍就是O?A之間．
當(dāng)DE過O點時，t=0．
當(dāng)DE過A點時，直角三角形OAD中，OA=2，∠ODA=30°，因此OD=4，t=

4 3

3

．
因此t的取值范圍是0≤t≤

4 3

3

．

（4）當(dāng)0≤t≤

2 3

3

時，S=

3

8

t²；Smax=

3

6

；
當(dāng)

2 3

3

＜t≤

3

時，S=

3

2

-

3

8

t²-

3

2

（

3

-t）²=-

5 3

8

（t-

4 3

5

）²+

3

5

，Smax=

3

5

；
當(dāng)

3

＜t≤

4 3

3

時，S=

3

2

（2-

3

2

t）²，S無最大值；
綜上所述S的最大值為

3

5

．

點評：本題中對于點的運動要分類進行討論．分類討論是初中數(shù)學(xué)重要的思想方法，難點是一要想到用討論的方法進行求解．二是討論界限要確定不要漏解和重復(fù)．