Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列說法中不正確的是（　�。�

• A、AD是∠BAC的平分線
• B、∠ADC=60°
• C、點(diǎn)D在AB的中垂線上
• D、S_△DAC：S_△ABD=1：3

Answer 1

分析：①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；
②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；
③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；
④利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來求兩個(gè)三角形的面積之比．

解答：解：根據(jù)作圖方法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正確；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上，故③正確；
∵∠CAD=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∵AD=DB，
∴CD=

1

2

DB，
∴CD=

1

3

CB，
S_△ACD=

1

2

CD•AC，S_△ACB=

1

2

CB•AC，
∴S_△ACD：S_△ACB=1：3，
∴S_△DAC：S_△ABD≠1：3，
故④錯(cuò)誤，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖-基本作圖．解題時(shí)，需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì)．