Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交與A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBO與△AOC相似？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)，利用AO=1，CO=3，得出PO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（3）由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱x=-1對(duì)稱，直線BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小，首先求出直線BC的解析式，進(jìn)而得出Q點(diǎn)坐標(biāo)即為

x=-1 y+x+3

的解，即可得出答案．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
∴解得：

b=-2 c=3

，
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）當(dāng)x=0，則y=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），
∴AO=1，CO=3，
∵B（-3，0），
∴BO=3，
∴當(dāng)PO=1時(shí)，
△PBO與△AOC相似，
∴P₁（0，-1）、P₂（0，1），
當(dāng)PO=9時(shí)，△PBO與△AOC相似，
P₃（0，9）、P₄（0，-9）；
綜上所示：P₁（0，-1）、P₂（0，1），P₃（0，9）、P₄（0，-9）；

（3）存在，
理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，
∴直線BC與x=-1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)△AQC周長(zhǎng)最小
∵y=-x²-2x+3，
∵C的坐標(biāo)為：（0，3），B（-3，0），設(shè)直線BC解析式為：y=kx+d，
∴

-3k+d=0 d=3

，
解得：

k=1 d=3

，
∴直線BC解析式為：y=x+3；
Q點(diǎn)坐標(biāo)即為

x=-1 y=x+3

的解，
∴

x=-1 y=2

，
∴Q（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用軸對(duì)稱求最短路線和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．