Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足點為E，連接AE．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）如果P點的坐標為（x，y），△PAE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取到最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P′，求出P′的坐標，并判斷P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三點，

∴ ，

解得 ，

∴解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線頂點坐標D為（﹣1，4）．

（2）解：∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴設AD為解析式為y=kx+b，有 ，

解得 ，

∴AD解析式：y=2x+6，

∵P在AD上，

∴P（x，2x+6），

∴S△APE= PEyP= （﹣x）（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），當x=﹣ =﹣ 時，S取最大值 ．

（3）解：如圖1，設P′F與y軸交于點N，過P′作P′M⊥y軸于點M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣ ，3），

∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E= ，

∵PF∥y軸，

∴∠PFE=∠FEN，

∵∠PFE=∠P′FE，

∴∠FEN=∠P′FE，

∴EN=FN，

設EN=m，則FN=m，P′N=3﹣m．

在Rt△P′EN中，

∵（3﹣m）2+（ ）2=m2，

∴m= ．

∵S△P′EN= P′NP′E= ENP′M，

∴P′M= ．

在Rt△EMP′中，

∵EM= = ，

∴OM=EO﹣EM= ，

∴P′（ ， ）．

當x= 時，y=﹣（ ）2﹣2 +3= ≠ ，

∴點P′不在該拋物線上．

【解析】（1）利用待定系數法把A、B、C三點坐標代入解析式，求出a、b、c即可；（2）由于P在AD上運動，須求出AD的解析式，設出P的橫坐標為x,用x的代數式分別表示P的縱坐標、PE長，代入三角形面積公式，構建函數，用配方法求出最值；（3）利用折疊的性質得出對應邊相等，設EN=m,用m的代數式分別表示P' 坐標，將橫坐標代入解析式，所求出的結果是否等于P'的縱坐標可判斷出.