Question

如圖，矩形A′B′C′O′是矩形OABC（邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上）繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，O′點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．O′C′與AB交于D點(diǎn)．
（1）如果二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)O，O′兩點(diǎn)且圖象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若將直線OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90）后與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，則以O(shè)、O′、B、P為頂點(diǎn)的四邊形能否是平行四邊形？若能，求出tanα的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)锽點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），連接OB，O′B，
所以O(shè)A=1，AB=3；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB=O′B，
根據(jù)勾股定理，AO′=
====1，
則OO'=1+1=2，O'坐標(biāo)為（2，0），對(duì)稱軸為x==1，
又因?yàn)閳D象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）．
設(shè)解析式為y=a（x-1）²-1，
把（0，0）代入解析式
得0=a-1．a(chǎn)=1，原式可化為y=x²-2x．

（2）因?yàn)椤螩′=∠DAO'，∠C'DB=∠ADO'，BC=AO'，
所以△C'DB≌△ADO'，于是BD=O'D．
設(shè)AD=x，所以O(shè)'D=BD=3-x，在Rt△DAO'中，x²+1=（3-x）²，
解得x=，
所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）．

（3）如圖所示，延長(zhǎng)CB、BC分別交拋物線于P₁，P₂．由于B點(diǎn)縱坐標(biāo)為3且BC平行于x軸，
故P₁、P₂縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式，
得：x²-2x=3，
解得x₁=3，x₂=-1．
于是BP₁=3-1=2，BP₂=1-（-1）=2，
故BP₁∥OO'且BP₁=OO'，BP₂∥OO'且BP₂=OO'，
于是OO'P₁B和OO'P₂B均為平行四邊形．
則以O(shè)、O′、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
tanα===1或tanα==．
于是tanα=1或．
分析：（1）因?yàn)锽點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），連接OB，O′B，由勾股定理可求出OB的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB=O′B，由勾股定理可求出O′A即可求出O′點(diǎn)的坐標(biāo)．因?yàn)槎�次函�?shù)的圖象過(guò)O，O′兩點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求出對(duì)稱軸直線，可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．再用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式．
（2）由于Rt△BC′D≌Rt△O′AD，可知DO′=BD，設(shè)AD=x，則可表示出D利用勾股定理；
（3）假設(shè)以O(shè)、O′、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，作出圖形，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再通過(guò)判斷BP₁∥=OO'，BP₂∥=OO'，得出四邊形是平行四邊形的結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生的對(duì)存在問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思考方法及數(shù)學(xué)思想的考查．要注意結(jié)合圖形，分情況討論．