解:(1)由OA=4得到:A(4,0),代入y=kx+3中得:
4k+3=0,解得:k=-
,
則直線AB的表達(dá)式為y=-
x+3;
(2)令x=0得:y=-
×0+3=3,故B(0,3),
則OB=3,又OA=4,根據(jù)勾股定理得:AB=5,
由折疊可知:△ABC≌△DBC,∴AB=BD=5,
∴OD=2,故點D坐標(biāo)為(0,-2);
(3)由折疊可知:△ABC≌△DBC,
∴∠BAO=∠BDC,
則tan∠BAO=tan∠BDC,即
=
,則OC=
=
,
在Rt△OCD中,CD=
=
.
(4)由折疊可知:△ABC≌△DBC,∠ABC=∠DBC,
則tan∠ABC=tan∠DBC=
=
=
.
分析:(1)由OA的長得到點A的坐標(biāo),代入y=kx+3中求出k的值,從而確定出直線AB的表達(dá)式;
(2)令直線AB的表達(dá)式中的x=0,求出點B的坐標(biāo),從而得到OB的長,由OA的長,利用勾股定理求出AB的長,由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等,故AB與BD相等,由BD的長求出OD的長,得到點D的坐標(biāo);
(3)由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等,所以∠BAO與∠BDC相等,它們的正切值也相等,根據(jù)正切函數(shù)定義列出比例式求出OC的長,利用勾股定理可求出CD;
(4)由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等,所以∠ABC與∠DBC相等,把要求的tan∠ABC轉(zhuǎn)換為tan∠DBC,根據(jù)正切函數(shù)定義求出值即可.
點評:此題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及一次函數(shù)的綜合運用.本題的關(guān)鍵是由折疊得三角形全等,利用全等得對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等,借助轉(zhuǎn)化的思想解決數(shù)學(xué)問題.