如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點,且OA=4,點C是x軸上一點,如果把△AOB沿著直線BC折疊,那么點A恰好落在y軸負(fù)半軸上的點D處.
(1)求直線AB的表達(dá)式;
(2)點D的坐標(biāo);
(3)求線段CD的長;
(4)求tan∠ABC的值.

解:(1)由OA=4得到:A(4,0),代入y=kx+3中得:
4k+3=0,解得:k=-,
則直線AB的表達(dá)式為y=-x+3;

(2)令x=0得:y=-×0+3=3,故B(0,3),
則OB=3,又OA=4,根據(jù)勾股定理得:AB=5,
由折疊可知:△ABC≌△DBC,∴AB=BD=5,
∴OD=2,故點D坐標(biāo)為(0,-2);

(3)由折疊可知:△ABC≌△DBC,
∴∠BAO=∠BDC,
則tan∠BAO=tan∠BDC,即=,則OC==
在Rt△OCD中,CD==

(4)由折疊可知:△ABC≌△DBC,∠ABC=∠DBC,
則tan∠ABC=tan∠DBC===
分析:(1)由OA的長得到點A的坐標(biāo),代入y=kx+3中求出k的值,從而確定出直線AB的表達(dá)式;
(2)令直線AB的表達(dá)式中的x=0,求出點B的坐標(biāo),從而得到OB的長,由OA的長,利用勾股定理求出AB的長,由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等,故AB與BD相等,由BD的長求出OD的長,得到點D的坐標(biāo);
(3)由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等,所以∠BAO與∠BDC相等,它們的正切值也相等,根據(jù)正切函數(shù)定義列出比例式求出OC的長,利用勾股定理可求出CD;
(4)由折疊可知三角形ABC與三角形DBC全等,所以∠ABC與∠DBC相等,把要求的tan∠ABC轉(zhuǎn)換為tan∠DBC,根據(jù)正切函數(shù)定義求出值即可.
點評:此題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及一次函數(shù)的綜合運用.本題的關(guān)鍵是由折疊得三角形全等,利用全等得對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等,借助轉(zhuǎn)化的思想解決數(shù)學(xué)問題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標(biāo)為(4,0),D點坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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