Question

如圖（1），四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)是邊BC上一點，且△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，G為DF的中點．
（1）求證：EG=CG，EG⊥CG；
（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，G為DF中點，那么（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出∠BDC=45°，由直角三角形的性質(zhì)就看由得出EG=CG=

1

2

DF，EG=DG=CG，就可以求出∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD，根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關系就可以得出∠EGC=90°，從而求出結論；
（2）取BF中點H，連接EH，GH，連接BD，取BD中點O，連接OG，OC，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出CO=

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2

BD，CO⊥BD，根據(jù)三角形的中位線得出GH∥BD，GH=

1

2

BD，OG∥BF，OG=

1

2

BF，推出OC=GH，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出EH=

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2

BF，推出四邊形OBHG是平行四邊形，求出∠GOC=∠EHG，證△GOC≌△EHG，推出EG=CG，∠EGH=∠GCO，求出∠EGC的度數(shù)即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°．
∵∠DEF=90°，G為DF的中點，
∴EG=DG=

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2

DF，CG=DG=

1

2

DF．
∴EG=CG，∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD．
∵∠FGE=∠GED+∠GDE，∠FGC=∠GCD+∠GDC，
∴∠FGE=2∠GDE，∠FGC=2∠GDC，
∴∠FGE+∠FGC=2（∠GDE+∠GDC）．
∵∠GDE+∠GDC=∠BDC=45°，
∴∠FGE+∠FGC=90°．
∴∠EGC=90°，
∴CG⊥EG．

（2）取BF中點H，連接EH，GH，連接BD，取BD中點O，連接OG，OC，
∵CB=CD，∠DCB=90°，
∴CO=

1

2

BD，
∵DG=GF，
∴GH∥BD，GH=

1

2

BD，
∴OG∥BF，OG=

1

2

BF，
∴OC=GH，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EH=

1

2

BF，
∴EH=OG，
∴四邊形OBHG是平行四邊形，
∴∠BOG=∠BHG，
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG，
在△GOC和△EHG中

OG=EH ∠GOC=∠EHG OC=GH

，
∴△GOC≌△EHG（SAS），
∴EG=CG，∠EGH=∠GCO，
∴∠EGC=∠EGH+∠HGO+∠CGO，
=∠CGO+∠GCO+∠GOD，
=180°-∠DOC，
=180°-90°，
=90°，
∴EG⊥CG，即EG=CG．EG⊥CG．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的外角與內(nèi)角的關系的運用，垂直的判定的運用，解答時根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解是關鍵．