Question

如圖1，正方形ABCD和正三角形EFG的邊長都為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上滑動(dòng)，設(shè)點(diǎn)G到CD的距離為x，到BC的距離為y，記∠HEF為α（當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別與B，A重合時(shí)，記α=0°）．
（1）當(dāng)α=0°時(shí)（如圖2所示），求x，y的值（結(jié)果保留根號）；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，點(diǎn)G落在對角形AC上？請說出你的理由，并求出此時(shí)x，y的值（結(jié)果保留根號）；
（3）請你補(bǔ)充完成下表（精確到0.01）：

α	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°
x		0.03				0.29
y		0.29	0.13			0.03

（4）若將“點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上滑動(dòng)”改為“點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD邊上滑動(dòng)”．當(dāng)滑動(dòng)一周時(shí)，請使用（3）的結(jié)果，在圖4中描出部分點(diǎn)后，勾畫出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)所形成的大致圖形．
（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，sin15°=≈0.259，sin75°=≈0.966）

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要依靠輔助線的幫助．過G作MN⊥AB于M交CD于N，GK⊥BC于K．求出MG，BM，求出x，y的值．
（2）過G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q，過G作JP∥AB交AD，BC于J，P．證明Rt△GEI≌Rt△GFJ，推出∠AEF=∠AFE=45°．得出當(dāng)α=45°時(shí)，點(diǎn)G在對角線AC上．已知∠AEG=105°，∠GEI=75°利用三角函數(shù)得出GI，GQ的值后得出x與y的關(guān)系．
（3）（4）是根據(jù)題意利用三角函數(shù)把α值代入可求解．
解答：解：（1）過G作MN⊥AB于M交CD于N，GK⊥BC于K．∵∠ABG=60°，BG=1，∴MG=，BM=．（2分）
∴x=1-，y=．（3分）

（2）當(dāng)α=45°時(shí)，點(diǎn)G在對角線AC上，其理由是：（4分）
過G作IQ∥BC交AB，CD于I，Q，
過G作JP∥AB交AD，BC于J，P．
∵AC平分∠BCD，∴GP=GQ，∴GI=GJ．
∵GE=GF，
∴Rt△GEI≌Rt△GFJ，
∴∠GEI=∠GFJ．
∵∠GEF=∠GFE=60°，
∴∠AEF=∠AFE．
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45度．
即α=45°時(shí)，點(diǎn)G落在對角線AC上．（6分）
（以下給出兩種求x，y的解法）

方法一：
∵∠AEG=45°+60°=105°，
∴∠GEI=75度．
在Rt△GEI中，GI=GE•sin75°=，
∴GQ=IQ-GI=1-．（7分）
∴x=y=1-．（8分）

方法二：當(dāng)點(diǎn)G在對角線AC上時(shí)，有，（7分）
解得
∴x=y=1-．（8分）

（3）

α	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°
y	0.13	0.03		0.03	0.13	0.29	0.50
x	0.50	0.29	0.13	0.03		0.03	0.13

（10分）

（4）由點(diǎn)G所得到的大致圖形如圖所示：
（12分）
說明：1、第（2）問回答正確的得（1分），證明正確的得（2分），求出x，y的值各得（1分）；
2、第（3）問表格數(shù)據(jù)，每填對其中4空得（1分）；
3、第（4）問圖形畫得大致正確的得（2分），只畫出圖形一部分的得（1分）．
點(diǎn)評：點(diǎn)評：這是一道較好的壓軸題，起點(diǎn)低，思路寬，一改那種“談?lì)}色變”的面孔，而且又有較好的區(qū)分度．本題從表面看來是一個(gè)針對幾何的相關(guān)知識進(jìn)行考查的問題，但從試題的更深層次來理解，可以看到：在所有動(dòng)態(tài)幾何問題中，除去由于說理的需要而必須進(jìn)行相關(guān)的合情推理論證及演繹推理外，更多的情況下還會遇到其運(yùn)動(dòng)變化過程中相關(guān)特殊位置的研究，而對這些特殊位置的研究常常是和幾何問題的量化描述密不可分的，而其量化的描述一般會用到函數(shù)、方程或不等式．另外，還強(qiáng)化了對數(shù)形結(jié)合及用代數(shù)方法解決幾何問題能力的考查．