Question

如圖：在Rt三角形ABC中，∠ABC=90，BA=BC．點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接 CD，過(guò)點(diǎn)B作BC作垂直CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F．與過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連結(jié)DF，給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）

AG

AB

=

FG

FB

；（2）△CBD∽△BAG（3）sin∠ABG=

5

5

；（4）AF=

2

3

AB，其中正確的結(jié)論序號(hào)是：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角邊角”證明△ABC≌△BCD，得出AG=BD，再證明△AFG∽△CFB，得出比例式

AG

CB

=

FG

FB

，即可得出（1）正確；由
∠GAB=∠ABC=90°，∠G=∠BDC，證出△CBD∽△BAG，（2）正確；由AG=AD=BD，BG=

5

AG，即可得出（3）正確；由△AFG∽△CFB，得出

AF

CF

=

AG

BC

=

1

2

，AF=

1

3

AC，AC=

2

AB，得出AF=

2

3

AB，（4）錯(cuò)誤．

解答：解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠BCD，
在△ABC和△BCD中，

∠ABG=∠BCD amp;  AB=BC amp;  ∠BAG=∠CBD amp;

∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BD=

1

2

AB，AG=

1

2

BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

CB

=

FG

FB

∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

；故（1）正確；
∵GA⊥AB，
∴∠GAB=90°，
∴∠GAB=∠ABC=90°，GA∥BC，
∴∠G=∠CBE，
∵∠CBE=∠BDC，
∴∠G=∠BDC，
∴△CBD∽△BAG；故（2）正確；
∵AG=AD=BD，
∴BG=

5

AG，
∴sin∠ABG=

AG

BG

=

AG

5 AG

=

5

5

；故（3）正確；
（4）∵△AFG∽△CFB，

AF

CF

=

AG

BC

=

1

2

∴AF=

1

2

CF，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB；故（4）錯(cuò)誤；
故答案為：（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．