Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點(diǎn)F．且BD=BF．

（1）求證：AC與⊙O相切．

（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．

分析：

（1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）證△AEO∽△ACB，得出關(guān)于r的方程，求出r即可．

解答：

證明：（1）連接OE，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∵BD=BF，

∴∠ODE=∠F，

∴∠OED=∠F，

∴OE∥BF，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴AC與⊙O相切；

（2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴，

設(shè)⊙O的半徑為r，則，

解得：r=4，

∴⊙O的面積π×4²=16π．

點(diǎn)評：

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力，用了方程思想．