Question

如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁．
（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)，則
∵∠ACD-∠ABD=∠

 

∴∠ACD-∠ABD=

 

°
∵BA₁、CA₁是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線
∴∠A₁CD-∠A₁BD=

1

2

（∠ACD-∠ABD）
∴∠A₁=

 

°；
（2）根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果寫出∠A與∠A₁之間等量關(guān)系

 

；
（3）∠A₁BC的角平分線與∠A₁CD的角平分線交于A₂，∠A₂BC與A₂CD的平分線交于A₃，如此繼續(xù)下去可得A₄、_…、A_n，請(qǐng)寫出∠A₆與∠A的數(shù)量關(guān)系

 

；
（4）如圖，若E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：
①∠Q+∠A₁的值為定值；②∠Q-∠A₁的值為定值，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)填空即可；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算可知∠A=2∠A₁；
（3）根據(jù)前兩問的計(jì)算過程可知∠A=2ⁿ∠A_n，所以求∠A與∠A₆的關(guān)系，把n換成6計(jì)算即可；
（4）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義求出表示出∠Q=180°-

1

2

∠A與∠A₁=

1

2

∠A即可得出結(jié)論①是正確的．

解答：解：（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2∠A₁；

（3）∠A=64∠A₆；

（4）∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA₁、CA₁是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BD=

1

2

∠BAC，
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分線，
∴∠QEC+∠QCE=

1

2

（∠AEC+∠ACE）=

1

2

∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-

1

2

∠BAC，
∴∠Q+∠A₁=180°．
因此①∠Q+∠A₁的值為定值正確．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義的運(yùn)用，根據(jù)推導(dǎo)過程對(duì)題目的結(jié)果進(jìn)行規(guī)律總結(jié)對(duì)解題比較重要．