Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，D是線段AC上一點(diǎn)，E是線段CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）當(dāng)點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），求證：BF-DF=CF：
（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，在線段EF上取點(diǎn)G，使GF=DF，連接DG并延長交CF于點(diǎn)H，交 BC延長線相交于點(diǎn)P（如圖2），CH：HF=4：5，EG=，求PH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)C作CM⊥CF交BE于點(diǎn)M，可以證得△MCF是等腰直角三角形，則MF=CF，證明BF-DF=MF即可；
（2）首先證明△ECF∽△EBD，得到∠EFC=∠BDC，則可以證明△HFG∽△HDF，△HFG∽△HDF，根據(jù)CH∥BD，可以證得：△PCH∽△PBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得．
解答：證明：（1）過點(diǎn)C作CM⊥CF交BE于點(diǎn)M．
∵∠BCM+∠ECM=∠DCF+∠ECM=90°，
∴∠BCM=∠DCM
∵∠CBM+∠CEM=∠FDC+∠FED=90°，
∴∠CEM=∠FED
∴∠CBM=∠FDC
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AC=2CD，
∵AC=2BC
∴CD=BC
∴△CBM≌△CDF，
∴BM=DF，CM=CF，
∵∠MCF=90°，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∴∠CMF=45°，
∴sin45°=，
∴MF=CF，
∵BF-BM=MF，
∴BF-DF=CF；
（2）設(shè)CH=4k，
∵CH：HF=4：5，
∴HF=5k，
∴∠BCE=∠DFE，∠CEB=∠FED，
∴△ECB∽△EFD，
∴=，
∴=，
∵∠CEF=∠BED，
∴△ECF∽△EBD，
∴∠EFC=∠BDC，
∵Rt△ACB中，tan∠BAC==，在Rt△GFD中，tan∠FDG==，
∴∠BDC=∠FDG=∠EFC，
又∵∠FHG=∠DHF
∴△HFG∽△HDF
∴===，
∴HG=k，DH=10k，
∴GD=k，
∴在Rt△GFD中，GF=k，DF=3k，
∴=
又∵∠HFD=∠DFC
∴△FHD∽△FDC，
∴∠FDH=∠FCD=∠BDC，
∴CF∥AB
∴∠FBD=∠BFC=∠FDH，
∴tan∠FBD=，
∴在Rt△FBD中，BF=6k，AB=15k，
∴EF=k+，BE=k-，
∴△CEF∽△BED，
∴=，即=，
∴k=，
∴HD=10k=2，
∵CH∥BD，
∴△PCH∽△PBD，
∴==，
∴=，
∴PH=．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，用k表示PH、HD的長度是關(guān)鍵．