Question

（1）如果x²+x-1=0，則x³+2x²+3=______．
（2）把（x²-x+1）⁶展開后得a₁₂x¹²+a₁₁x¹¹+…+a₂x²+a₁x+a₀，則a₁₂+a₁₀+a₈+a₆+a₄+a₂+a₀=______．

Answer 1

解：（1）∵x²+x-1=0，
∴x²=1-x，
∴x³+2x²+3=x（1-x）+2x²+3=x²+x+3=1-x+x+3=4；

（2）令x=1，由已知等式得a₁₂+a₁₁+…+a₂+a₁+a₀=1，①
令x=-1，得a₁₂-a₁₁+…+a₂-a₁+a₀=729，②
①+②得2（a₁₂+a₁₀+a₈+a₆+a₄+a₂+a₀）=730．
故a₁₂+a₁₀+a₈+a₆+a₄+a₂+a₀=365．
分析：（1）把高次項(xiàng)用低次多項(xiàng)式表示，進(jìn)行因式分解，再求值；（2）我們很難將（x²一x+1）⁶的展開式寫出，因此想通過展開式去求出每一個(gè)系數(shù)是不實(shí)際的，事實(shí)上，上列等式在x的允許值范圍內(nèi)取任何一個(gè)值代入計(jì)算，等式都成立，考慮用賦值法解．
點(diǎn)評(píng)：在解數(shù)學(xué)題時(shí)，將問題中的某些元素用適當(dāng)?shù)臄?shù)表示，再進(jìn)行運(yùn)算、推理解題的方法叫賦值法，用賦值法解題有兩種類型：（1）常規(guī)數(shù)學(xué)問題中，恰當(dāng)?shù)貙?duì)字母取值，簡(jiǎn)化解題過程；（2）非常規(guī)數(shù)學(xué)問題通過賦值，把問題“數(shù)學(xué)化”．