Question

孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，兩直角邊與該拋物線交于、兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問題：

（1）若測(cè)得（如圖1），求的值；

（2）對(duì)同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過作軸于點(diǎn)，測(cè)得，寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）對(duì)該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

解：

（1）設(shè)線段與軸的交點(diǎn)為，由拋物線的對(duì)稱性可得為中點(diǎn)，

 ，，

，(，)                       

將(，)代入拋物線得，.                

（2）解法一：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， (1，)，                             

.  又 ，易知，又，

△∽△，             

設(shè)點(diǎn)（，）（），則，，

，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.        

解法二：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， (1，)， 

    

 ，易知，

，                

設(shè)點(diǎn)（-，）（），則，，

，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.                    

解法三：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， (1，)，  …

設(shè)（-，）（），則

，，，  

 ，

，

解得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.                      

（3）解法一：設(shè)（，）（），（，）（），

設(shè)直線的解析式為：，     則

得，，[來源:學(xué)。科。網(wǎng)Z。X。X。K]

              ……… 8分

又易知△∽△，，，…

.由此可知不論為何值，直線恒過點(diǎn)（，）

（說明：寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)就給2分）

解法二：設(shè)（，）（），（，）（），

直線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)，可得

，

化簡，得.                                            

又易知△∽△，，，

 為固定值.故直線恒過其與軸的交點(diǎn)（,）

說明：的值也可以通過以下方法求得.

由前可知，，，，

由，得：，

化簡，得.