Question

2．2015年8月5日，河南省長恒縣第一中學(xué)發(fā)布了體育看臺(tái)建設(shè)項(xiàng)目施工招標(biāo)的公告，該看臺(tái)的部分側(cè)面示意圖如圖所示，該看臺(tái)每個(gè)臺(tái)階的高度都相等，線段MN表示的是看臺(tái)上方的遮陽板．已知∠ACE=30°，CD=2$\sqrt{3}$m，DE=BN=1m，∠E=∠ADE=90°，MN∥CE．
（1）求CF的高度；
（2）若MN=$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$m，求點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離．

Answer 1

分析 （1）RT△ACD中，由∠ACD=30°知AC=2AD，再根據(jù)勾股定理可求得AD的長度，除以臺(tái)階數(shù)即可得；
（2）過點(diǎn)M作MP⊥CE于點(diǎn)P，連接MC，由題意可知MP=NE=AD+BN，CP=CE-PE=CE-MN，在RT△PCM中根據(jù)勾股定理可得MC長度．

解答 解：（1）在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD，
又∵AC²=AD²+CD²，且CD=2$\sqrt{3}$，
∴4AD²=AD²+12，解得：AD=2，
由圖可知，共有5個(gè)臺(tái)階，
故CF=$\frac{1}{4}$AD=0.4m；
（2）過點(diǎn)M作MP⊥CE于點(diǎn)P，連接MC，

∴∠MPE=∠E=90°，
∴MP∥NE，
又∵M(jìn)N∥CE，
∴四邊形MNEP為矩形，
∴MP=NE=AB+BN=AD+BN=3m，
CP=CE-PE=CE-MN=2$\sqrt{3}$+1-$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$=$\frac{5}{2}$m，
在RT△PCM中，∵M(jìn)C²=MP²+CP²，
∴MC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，
故點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離為$\frac{\sqrt{61}}{2}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查勾股定理及矩形的判定與性質(zhì)，做垂直構(gòu)建直角三角形根據(jù)勾股定理求斜邊長度是切入點(diǎn)，根據(jù)矩形性質(zhì)得出直角三角形直角邊長是關(guān)鍵．