Question

16．在平行四邊形ABCD中，P為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA、PC，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：①S₁=S₂；②S₁+S₂=S₃；③S₁+S₃=S₂+S₄；④若S₁•S₃=S₂•S₄，其中正確結(jié)論的序號(hào)是③．（在橫線上填上你認(rèn)為所有正確答案的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=CD，AD=BC，設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出③正確；根據(jù)三角形的面積公式即可判斷①②④錯(cuò)誤，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，
設(shè)點(diǎn)P到AB、BC、CD、DA的距離分別為h₁、h₂、h₃、h₄，
則S₁=$\frac{1}{2}$ABh₁，S₂=$\frac{1}{2}$BCh₂，S₃=$\frac{1}{2}$CDh₃，S₄=$\frac{1}{2}$ADh₄，
∵$\frac{1}{2}$ABh₁+$\frac{1}{2}$CDh₃=$\frac{1}{2}$AB•h_AB，
$\frac{1}{2}$BCh₂+$\frac{1}{2}$ADh₄=$\frac{1}{2}$BC•h_BC，
又∵S_{平行四邊形ABCD}=AB•h_AB=BC•h_BC，
∴S₂+S₄=S₁+S₃，
故③正確；①②④不正確；
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，以及平行四邊形對(duì)角線上點(diǎn)的判定的應(yīng)用，用平行四邊形的面積表示出相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積的和是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．