Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點C，點F是CD上一點，且滿足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2．AF=3．給出下列結(jié)論：
①△ADF∽△AED；②FG=3；③tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；④S_△DAF=6$\sqrt{5}$．
其中正確結(jié)論的個數(shù)的是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由垂徑定理得出CG=DG，$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，得出圓周角∠ADF=∠E，再由公共角相等，即可得出△ADF∽△AED，①正確；
由已知條件求出FD，得出CD、CG，即可求出FG=2，②錯誤；
由相交弦定理求出EF，得出AE，由△ADF∽△AED，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AF}{AD}$，求出AD²=21，由勾股定理求出AG，得出tan∠E=tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，③正確；
根據(jù)三角形的面積公式即可得到S_△ADF=3$\sqrt{5}$，④錯誤．

解答 解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CG=DG，$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，∠AGF=∠AGD=90°，
∴∠ADF=∠E，
又∵∠DAF=∠EAD，
∴△ADF∽△AED，
∴①正確；
∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∵CG=DG，
∴CG=DG=4，
∴FG=2，
∴②錯誤；
∵AF•EF=CF•FD，
即3EF=2×6，
∴EF=4，
∴AE=7，
∵△ADF∽△AED，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AF}{AD}$，
∴AD²=AE×AF=7×3=21，
在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{A{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{21-{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴tan∠E=tan∠ADF=$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴③錯誤；
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$FD•AG=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，
∴④錯誤；
故選A．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、相交弦定理、三角函數(shù)、三角形面積的計算等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是③中，需要運用三角形相似、勾股定理、相交弦定理、圓周角定理才能得出結(jié)果．