Question

如圖：PA與⊙O相切于點(diǎn)A，弦AB⊥OP，垂足為C，OP與⊙O相交于點(diǎn)D，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度數(shù)；
（2）若C為OD中點(diǎn)，連接AD，OB，BD，求證：四邊形ADBO是菱形，并求出這個(gè)菱形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由PA與圓O相切，得到OA垂直于AP，即三角形AOP為直角三角形，根據(jù)OP=2OA，得到∠P=30°，即可求出∠POA的度數(shù)；
（2）連接OB，AD，BD，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到C為AB中點(diǎn)，再由C為OD中點(diǎn)，得到四邊形ADBO為平行四邊形，又AB垂直于OD，即可確定出四邊形ADBO為菱形，在直角三角形AOC中，由OA長(zhǎng)求出OC與AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OD與AB的長(zhǎng)，利用對(duì)角線乘積的一半求出菱形ADBO面積即可．

解答：解：（1）∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥AP，即△OAP是Rt△，
∵OA=2，OP=4，即OP=2OA，
∴∠P=30°，
∴∠POA=60°；
（2）連接OB，AD，BD，
∵OP⊥AB，
∴C為AB中點(diǎn)，
∵C為OD中點(diǎn)，
∴四邊形ADBO為平行四邊形，
∵OD⊥AB，
∴四邊形ADBO為菱形；
在Rt△AOC中，∠POA=60°，
∴∠OAC=30°，
∵OA=2，
∴OC=1，根據(jù)勾股定理得：AC=

22-12

=

3

，
∴OD=2，AB=2

3

，
則S_菱形ADBO=

1

2

AB•OD=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．