Question

已知平面區(qū)域上，坐標(biāo)x，y滿足|x|+|y|≤1
（1）畫出滿足條件的區(qū)域L₀，并求出面積S；
（2）對區(qū)域L₀作一個(gè)內(nèi)切圓M₁，然后在M₁內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接與此圓與L₀相同形狀的圖形L₁，在L₁內(nèi)繼續(xù)作圓M₂，…經(jīng)過無數(shù)次后，求所有圓的面積的和．
（提示公式：）

Answer 1

解：（1）如圖，|x|+|y|≤1可化為，
x+y≤1，x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1，
∴四邊形ABCD就是滿足條件的區(qū)域L₀是正方形，
S=×AC×BD=×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如圖，∵A0=1，
∴⊙M₁的半徑為：1×sin45°=，
∴內(nèi)切圓M₁的面積是：π（）²=π，
同理可得：⊙M₂的半徑為：×sin45°=（）²，
∴內(nèi)切圓M₂的面積是：π[（）²]²=π×=π（）²，
⊙M₃的半徑為：（）²×sin45°=（）³，
內(nèi)切圓M₃的面積是：π[（）³]²=π×（）²=π（）³，
…
以此類推，經(jīng)過n次后，⊙M_n的面積為π（）ⁿ，
∴所有圓的面積的和=π+π（）²+π（）³+…+π（）ⁿ==π[1-（）ⁿ]．
故答案為：（1）2，（2）π[1-（）ⁿ]．
分析：（1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號(hào)，作出|x|+|y|≤1的線性規(guī)劃區(qū)域即可得到區(qū)域L₀，然后根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半進(jìn)行求解即可；
（2）求出M₁、M₂的面積，然后根據(jù)求解規(guī)律，后一個(gè)圓得到面積等于前一個(gè)圓的面積的，然后列式，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可．
點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)與圓的面積的問題，作出圖形，求出后一個(gè)圓的半徑等于前一個(gè)圓的半徑的倍是解題的關(guān)鍵．