Question

15．如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點P為切點，AB=12$\sqrt{3}$，OP=6，則劣弧AB的長為8π．

Answer 1

分析 連接OA、OB，由切線的性質(zhì)和垂徑定理易得AP=BP=$\frac{1}{2}AB=6\sqrt{3}$，由銳角三角函數(shù)的定義可得∠AOP=60°，利用弧長的公式可得結(jié)果．

解答 解：連接OA、OB，
∵AB為小⊙O的切線，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}AB=6\sqrt{3}$，
∵$tan∠AOP=\frac{AP}{OP}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，∠OAP=30°，
∴OA=2OP=12，
∴劣弧AB的長為：$\frac{120°}{180°}•π•OA$=$\frac{2}{3}×12×π$=8π．
故答案為：8π．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理和弧長公式，利用三角函數(shù)求得∠AOP=60°是解答此題的關(guān)鍵．