Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E．若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的長；
（2）求△BDE的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD；
（2）利用勾股定理列式求出AB的長度，再利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=AC，然后求出BE，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3，
∴DE=3；

（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
∴△BDE的周長=BD+DE+BE
=BD+CD+BE
=BC+BE
=8+4
=12．

點評 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟記各性質是解題的關鍵，難點在于（2）三角形周長的轉換．