Question

已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是AC，BD的交點(diǎn)，∠AOB=45°，AB=4，BC=8，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：過A作AE垂直于DB，垂足是E，過C作CF垂直于DB．垂足是F，由條件可得△AEO和△CFO是全等的等腰三角形，設(shè)AE=EO=OF=CF=x，在Rt△ABE和Rt△BFC中，可用x表示出BD和CF的積，從而可以求得△BDC的面積，進(jìn)一步可求得平行四邊形ABCD的面積．

解答：解：
過A作AE垂直于DB，垂足是E，過C作CF垂直于DB．垂足是F，如圖，
在△AEO和△CFO中

∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF AO=CO

∴△AEO≌△CFO（AAS），
∵∠AOB=45°，
∴這兩個三角形是等腰直角三角形，
設(shè)AE=EO=OF=CF=x，
∵BO=DO，
∴BE=FD，
在Rt△ABE中，AB=4，AE=x，
∴BE=

16-x2

，
在Rt△BFC中，BF=2x+

16-x2

，CF=x，BC=8，
∴（2x+

16-x2

）²+x²=8²，
∴x²+x

16-x2

=12，
而BD=BF+DF=BF+BE=2x+2

16-x2

∴S_△BCD=

1

2

BD•CF=

1

2

（2x+2

16-x2

）=x²+x

16-x2

=12，
又由平行四邊形的性質(zhì)可知S_△DAB=S_△BCD，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△BCD=24．

點(diǎn)評：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理表示出BD的長，且求得BD與CF的積為常數(shù)是解題的關(guān)鍵．