Question

如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OC⊥PC．
（1）求證：△PCA∽△PBC；
（2）若點(diǎn)B恰好是OP的中點(diǎn)，且⊙O的半徑為R=5cm，試求出優(yōu)弧BAC長(zhǎng)；
（3）若以優(yōu)弧BAC所圍成的扇形面制作一個(gè)如圖2的圓錐，試求出該圓錐的表面積．（π≈3，結(jié)果精確到個(gè)位）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及兩角互余的性質(zhì)得出∠PCB=∠A，進(jìn)而求出△PCA∽△PBC；
（2）利用直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式求出即可；
（3）利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖與底面圓的周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)情況，進(jìn)而得出其底面圓的半徑，進(jìn)而求出其表面積．

解答：（1）證明：由題意可得出：∠ACB=∠OCP=90°，
則∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠PCB=90°，
故∠ACO=∠PCB，
∵AO=CO，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCB=∠A，
又∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC；

（2）解：∵點(diǎn)B恰好是OP的中點(diǎn)，∠OCP=90°，
∴BC=OB=BP，
∴OC=OB=BC，
∴△COB是等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
故優(yōu)弧BAC長(zhǎng)為：

240π×5

180

=

20

3

π；

（3）解：∵優(yōu)弧BAC長(zhǎng)為：

20

3

π，
∴設(shè)圓錐底面圓的半徑為：r，則其周長(zhǎng)為：2πr=

20

3

π，
解得：r=

10

3

，
故該圓錐的表面積為：

240π×52

360

+π×（

10

3

）²≈83（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓錐側(cè)面展開(kāi)圖和扇形各部分對(duì)應(yīng)情況，得出扇形圓心角度數(shù)是解題關(guān)鍵．