Question

11．如圖，在一筆直的海岸線上有A，B，C3個觀測站，B，C都在A的正西方向，AC=100（$\sqrt{3}+1$）km，從C測得船D在北偏東45°的方向，從B測得船D在北偏東15°的方向，從A測得船D在北偏西30°的方向．
（1）求此時觀測點A與船D的距離AD；
（2）求觀測點A與觀測點B的距離AB．（精確到0.1km）
（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.41；$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）設(shè)AD為xkm，根據(jù)正、余弦的定義用x表示出AH、DH，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（2）作BG⊥AD于G，設(shè)AB為ykm，根據(jù)三角函數(shù)的定義用y表示出AG、DG，解方程即可．

解答 解：（1）設(shè)AD為xkm，
由題意得，∠DAH=60°，
則∠ADH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠DCH=45°，
∴CH=DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=100（$\sqrt{3}+1$），
解得，x=200，即AD=200km；
（2）作BG⊥AD于G，
設(shè)AB為ykm，
則AG=$\frac{1}{2}$ykm，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ykm，
∵∠DBA=75°，∠DAB=60°，
∴∠BDA=45°，
∴DG=BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ykm，
∴$\frac{1}{2}$y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=200，
解得，y=200（$\sqrt{3}$-1）≈146.0km，
答：觀測點A與觀測點B的距離AB約為146.0km．

點評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．