Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),DE⊥DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,試寫(xiě)出線段BE,EF,FC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】解:FC2+BE2=EF2.理由如下:
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),∴BD=CD.作△BDE關(guān)于點(diǎn)D成中心對(duì)稱(chēng)的
△CDM,如圖.

由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得CM=BE,MD=ED,∠DCM=∠B.
又∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCM+∠ACB=90°,即∠FCM=90°.
連接FM.在△FME中,MD=ED,FD⊥ME,FD=FD,
∴△FDM≌△FDE.∴FM=EF.
又∵在Rt△FCM中,FC2+CM2=FM2,
∴FC2+BE2=EF2.
【解析】根據(jù)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，作△BDE關(guān)于點(diǎn)D成中心對(duì)稱(chēng)的△CDM，根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出CM=BE,MD=ED,∠DCM=∠B，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余證得∠B+∠ACB=90°,從而證得△FCM是直角三角形，利用勾股定理得出,FC2+CM2=FM2,然后再證明FM=EF，即可證得結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和中心對(duì)稱(chēng)及中心對(duì)稱(chēng)圖形是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重合，那么我們就說(shuō)，這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)；如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說(shuō)，這個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)圖形．