Question

17．△ABC內(nèi)接于⊙O，過點O作OH⊥BC于點H，延長OH交⊙O于點D，連接AD．

（1）如圖1，求證：∠BAD=∠CAD；
（2）如圖2，若OH=DH，求∠BAC的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點B作BK⊥AD于點K，連接HK，若HK=$\frac{3}{2}$，⊙O的半徑為$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由OH⊥BC知$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，可得∠BAD=∠CAD；
（2）RT△BOH中由OH=$\frac{1}{2}$OB知∠BOH=60°，進而得∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°；
（3）延長BK、AC交于點P，連接OB，過點C作CR⊥AB，在RT△BOH中根據(jù)半徑及∠BOH求得BH、BC的長，證△ABK≌△APK得BK=PK、AB=AP，結(jié)合BH=CH可得CP=2HK=3，設(shè)AC=m，則AB=m+3，在RT△ACR中表示出CR、AR的長，在RT△BCR中根據(jù)勾股定理可求得m的值，即AC的長．

解答 解：（1）∵OH⊥BC于點H，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）如圖2，連接OB、OC，
∵OH=DH，OB=OD，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB，而OH⊥BH，
∴∠OBH=30°，∠BOH=60°
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°；
（3）如圖3，延長BK、AC交于點P，連接OB，過點C作CR⊥AB于點R，
在RT△BOH中，OB=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，∠BOH=60°，
∴BH=OB•sin60°=$\frac{7}{2}$，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=7，
∵BK⊥AD，
∴∠AKB=∠AKP=90°，
在△ABK和△APK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAK=∠PAK}\\{AK=AK}\\{∠AKB=∠AKP}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△APK（ASA），
∴BK=PK，AB=AP，
∵BH=CH，
∴HK是△BCP的中位線，
∴CP=2HK=3，
設(shè)AC=m，則AB=AP=m+3，
在RT△ACR中，∠RAC=60°，
∴AR=$\frac{1}{2}$m，CR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴BR=AB-AR=m+3-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m+3，
在RT△BCR中，BR²+CR²=BC²，即（$\frac{1}{2}$m+3）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）²=7²，
解得：m=5或m=-8（舍），
∴AC=5．

點評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定等知識．該題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．