Question

6．如圖，四邊形的頂點(diǎn)O在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，OB∥AC，OB=AC．
（1）求證：四邊形OACB是矩形；
（2）若點(diǎn)E是邊OA的中點(diǎn)，且∠OBE=∠EBF，試探究線段AF、AC、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）條件下，若BE=8，BF=10，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得出四邊形OACB是平行四邊形，再根據(jù)∠BOA=90°，得出四邊形OACB是矩形；
（2）過點(diǎn)E作DE⊥BF，垂足為D，根據(jù)AAS證出Rt△BOE≌Rt△BDE，得出OB=BD，OE=DE，∠BED=∠BEO=$\frac{1}{2}$∠OED，再根據(jù)點(diǎn)E是邊OA的中點(diǎn)，AE=DE，
在Rt△DEF和Rt△AEF中，根據(jù)HL得出Rt△DEF≌Rt△AEF，得出AF=DF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出線段AF、AC、BF之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）根據(jù)∠BED=∠BEO，∠DEF=∠FEA，得出∠BEF=90°，在Rt△BEF中，設(shè)DF=x，BD=10-x，根據(jù)BE²-BD²=EF²-DF²，再根據(jù)求出x的值，再根據(jù)DE²=EF²-DF²，求出DE，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）證明：∵OB∥AC，OB=AC，
∴四邊形OACB是平行四邊形，
∵∠BOA=90°，
∴四邊形OACB是矩形；

（2）過點(diǎn)E作DE⊥BF，垂足為D，連接EF，
∴∠BOE=∠BDE=90°，
在Rt△BOE和Rt△BDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠BDE=90°}\\{∠OBE=∠EBF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△BDE，
∴OB=BD，OE=DE，∠BED=∠BEO=$\frac{1}{2}$∠OED，
∵點(diǎn)E是邊OA的中點(diǎn)，
∴AE=OE，
∴AE=DE，
在Rt△DEF和Rt△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△AEF，
∴AF=DF，
∵四邊形OACB是矩形，
∴AC=OB，
∴BF=BD+DF=OB+AF=AC+AF；

（3）∵Rt△DEF≌Rt△AEF，
∴∠DEF=∠FEA=$\frac{1}{2}$∠DEA，
∴∠BEF=∠DEF+∠BED=$\frac{1}{2}$∠DEA+$\frac{1}{2}$∠OED=$\frac{1}{2}$（∠DEA+∠OED）=90°，
在Rt△BEF中，設(shè)DF=x，BD=10-x，
∵BE²-BD²=EF²-DF²，
∴8²-（10-x）²=6²-x²，
∴x=3.6，
∵DE²=EF²-DF²，
∴DE²=6²-3.6²，
∴DE=4.8，OA=2DE=9.6，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（9.6，4.8）．

點(diǎn)評 此題考查了四邊形，用到的知識點(diǎn)是平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．