Question

2．如圖，A（0，4），B（3，0），C（4，2），且反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$，直線AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）在直角坐標(biāo)系平面內(nèi)，確定點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在反比例函數(shù)的第一象限圖象上，是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ的面積最��？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及最小面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）分成四邊形ACBD是平行四邊形，四邊形ADCB是平行四邊形和四邊形ACDB是平行四邊形三種情況，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分即可求解；
（3）△ABQ的面積最小時，Q是與AB平行且與反比例函數(shù)在第一象限部分只有一個公共點(diǎn)時，直線與反比例函數(shù)的公共點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得直線解析式以及Q的坐標(biāo)．作QH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)S_△ABQ=S_△BQH+S_梯形AOHQ-S_△AOB求解．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{k}{x}$，
根據(jù)題意得：k=8．
則反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{8}{x}$；
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
則直線AB的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+4．
故答案是：y=$\frac{8}{x}$，y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）四邊形是平行四邊形ACBD時，AB的中點(diǎn)是（$\frac{3}{2}$，2）．
當(dāng)設(shè)D的坐標(biāo)是（m，n）．
則$\frac{4+m}{2}$=$\frac{3}{2}$，且$\frac{2+n}{2}$=2，
解得：m=-1，n=2，
則D的坐標(biāo)是（-1，2）；
同理四邊形ADCB是平行四邊形時，AC的中點(diǎn)是（2，3）．
則D的坐標(biāo)是（4，6）；
同理，當(dāng)四邊形ACDB是平行四邊形時，D的坐標(biāo)是（7，-2）；
（3）設(shè)與AB平行且與反比例函數(shù)只有一個公共點(diǎn)的直線是y=-$\frac{4}{3}$x+c．
則-$\frac{4}{3}$x+c=$\frac{8}{x}$，即4x²-3cx+24=0，
△=（-3c）²-4×4×24=0，
解得：c=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$或-$\frac{8\sqrt{6}}{3}$（舍去）．
則直線QD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
令y=0，解得：x=2$\sqrt{6}$，即D的坐標(biāo)是（2$\sqrt{6}$，0），
則BD=2$\sqrt{6}$-3．
則S_△ABQ=S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•OA=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{6}$-3）•4=4$\sqrt{6}$-6．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確利用判別式求得Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵．