Question

閱讀下列文字：我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖a可以得到a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）．請(qǐng)回答下列問題：

（1）寫出圖b中所表示的數(shù)學(xué)等式是

2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）

．
（2）試畫出一個(gè)長(zhǎng)方形，使得用不同的方法計(jì)算它的面積時(shí)，能得到2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）．
（3）課本68頁(yè)練一練，有一題：如圖c，用四塊完全相同的長(zhǎng)方形拼成正方形，用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？（用含有x、y的多少表示）

4xy=（x+y）²-（x-y）²

．
（4）通過上述的等量關(guān)系，我們可知：
當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小則積越

大

（填“大”或“小”）．
當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小則和越

小

（填“大”或“小”）．
（5）利用上面得出的結(jié)論，對(duì)于正數(shù)x，求：
代數(shù)式：2x+

2

x

的最小值是

4

；
代數(shù)式：x（6-x）的最大值是

9

．

Answer 1

分析：（1）圖b面積有兩種求法，可以由長(zhǎng)為2a+b，寬為a+2b的矩形面積求出，也可以由兩個(gè)邊長(zhǎng)為a與邊長(zhǎng)為b的兩正方形，及4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形面積之和求出，表示即可；
（2）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示；
（3）陰影部分的面積可以由邊長(zhǎng)為x+y的大正方形的面積減去邊長(zhǎng)為x-y的小正方形面積求出，也可以由4個(gè)長(zhǎng)為x，寬為y的矩形面積之和求出，表示出即可；
（4）兩正數(shù)和一定，則和的平方一定，根據(jù)等式4xy=（x+y）²-（x-y）²，得到被減數(shù)一定，差的絕對(duì)值越小，即為減數(shù)越小，得到差越大，即積越大；當(dāng)兩正數(shù)積一定時(shí)，即差一定，差的絕對(duì)值越小，得到減數(shù)越小，可得出被減數(shù)越��；
（5）利用上述的結(jié)論可得出所求的最大值及最小值．

解答：解：（1）2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：


（3）4xy=（x+y）²-（x-y）²；

（4）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小則積越大；
當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，它們的差的絕對(duì)值越小則和越小；

（5）2x+

2

x

的最小值是4；x（6-x）的最大值是9．
故答案為：（1）2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）；（3）4xy=（x+y）²-（x-y）²；（4）大；小；（5）4；9

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．