Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm²，求△ABF的周長；
（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE²=AC•AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明△AOE≌△COF，可得四邊形AFCE是平行四邊形；由折疊的性質，可得AE=EC，即可證明；
（2）由勾股定理得AB²+FB²=100，△ABF的面積為24cm²可得，AB×BF=48；變換成完全平方式，即可解答；
（3）過點E作BC的垂線，交AC于點P，通過證明△AOE∽△AEP，即可證明；
解答：（1）證明：由題意可知OA=OC，EF⊥AO，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
由圖形折疊的性質可知，AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）解：∵四邊形AECF是菱形，
∴AF=AE=10cm，
設AB=a，BF=b，
∵△ABF的面積為24cm²，
∴a²+b²=100，ab=48，
∴（a+b）²=196，
∴a+b=14或a+b=-14（不合題意，舍去），
∴△ABF的周長為14+10=24cm；

（3）解：存在，過點E作BC的垂線，交AC于點P，點P就是符合條件的點；
證明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAO，
∴△AOE∽△AEP，
∴=，
∴AE²=AO•AP，
∵四邊形AECF是菱形，
∴AO=AC，
∴AE²=AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．
點評：本題考查了相似和全等三角形的判定和性質、勾股定理及矩形的性質，考查的知識點較多，綜合性較強，考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．