Question

拋物線y=x²-kx-3與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其中點B的坐標為（1+k，0）．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）將（1）中的拋物線沿對稱軸向上平移，使其頂點M落在線段BC上，記該拋物線為G，求拋物線G所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（3）將線段BC平移得到線段B′C′（B的對應(yīng)點為B′，C的對應(yīng)點為C′），使其經(jīng)過（2）中所得拋物線G的頂點M，且與拋物線G另有一個交點N，求點B′到直線OC′的距離h的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將B（1+k，0）代入y=x²-kx-3，得到（1+k）²-k（1+k）-3=0，解方程求出k=2，即可得到拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）先求出點B、點C的坐標，運用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式為y=x-3，再由（1）中拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)平移的規(guī)律得出拋物線G的頂點M的坐標為（1，-2），然后利用頂點式得到拋物線G所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=（x-1）²-2，轉(zhuǎn)化為一般式即y=x²-2x-1；
（3）連結(jié)OB′，過B′作B′H⊥OC′于點H．根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出B′H=B′C′•sin∠C=3

2

•sin∠C′，則當∠C′最大時h最大；當∠C′最小時h最�。�即h的取值范圍在最大值與最小值之間．由圖2可知，當C′與M重合時，∠C′最大，h最大．根據(jù)S_△OB′C′=S_△OB′B+S_△OBC′，求出B′H=

9

5

5

；由圖3可知，當B′與M重合時，∠C′最小，h最�。�根據(jù)S_△OB′C′=S_△OCB′+S_△OCC，求出B′H=

9

29

29

，則

9

29

29

≤h≤

9

5

5

．

解答：解：（1）將B（1+k，0）代入y=x²-kx-3，
得（1+k）²-k（1+k）-3=0，
解得k=2，
所以拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=x²-2x-3；

（2）當k=2時，點B的坐標為（3，0）．
∵y=x²-2x-3，
∴當x=0時，y=-3，
∴點C的坐標為（0，-3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
則

3m+n=0 n=-3

，解得

m=1 n=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
將（1）中的拋物線沿對稱軸向上平移時橫坐標不變．
把x=1代入y=x-3可得y=-2，
∴拋物線G的頂點M的坐標為（1，-2），
∴拋物線G所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=（x-1）²-2，即y=x²-2x-1；

（3）連結(jié)OB′，過B′作B′H⊥OC′于點H．
∵B′H=B′C′•sin∠C=3

2

•sin∠C′，
∴當∠C′最大時h最大；當∠C′最小時h最�。�由圖2可知，當C′與M重合時，∠C′最大，h最大．
此時，S_△OB′C′=S_△OB′B+S_△OBC′，
∴

1

2

OC′•B′H=

3

2

+3，
∴B′H=

9

5

5

；
由圖3可知，當B′與y=x²-2x-1的頂點M重合時，B'（2，-1），則C'（-1，-4），∠C'最小，h最�。�此時，S_△OB′C′=S_△OCB′+S_△OCC'，
∴

1

2

OC′•B′H=

3

2

+3=

9

2

，
此時∵C′（-1，-4）
∴OC'=

1+16

=

17

∴B'H=

9 17

17

．
綜上所述，

9 17

17

≤h≤

9

5

5

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，拋物線的頂點坐標求法，二次函數(shù)平移的規(guī)律，銳角三角函數(shù)的定義和三角形的面積求法等知識．綜合性較強，有一定難度．