Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8．D、E是邊AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，D從A出發(fā)向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)E以相同的速度從C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，E運(yùn)動(dòng)到B停止．F為AB中點(diǎn)．
（1）試探究△DEF的形狀，并說明理由．
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CDFE可能成為正方形嗎？如能求正方形的邊長．
（3）當(dāng)AD為多少時(shí)，△DEC的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)F是AB中點(diǎn)，可得AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，即可證明△ADF≌△CEF，于是可得DF=EF，∠AFD=∠CFE，即可求得∠DFE=90°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形中位線定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可證得；
（3）設(shè)AD=x，則CE=x，DC=8-x，根據(jù)三角形面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求得．

解答 解：（1）△DEF為等腰直角三角形，
理由：如圖連接CF，

∵F是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠A=∠FCE=45°}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFE=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）當(dāng)D、E分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形，
∵∠ACB=90°，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，
∴DF=DC=AD=$\frac{1}{2}$AC，EF=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AC=BC，
∴DC=DF=EF=EC，
又∵∠ACB=90°，
∴四邊形CDFE是正方形，且其邊長為4；
（3）設(shè)AD=x，則CE=x，DC=8-x，
∵S_△DEC=$\frac{1}{2}$DC•CE=$\frac{1}{2}$（8-x）•x=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，
∴當(dāng)AD為4時(shí)，△DEC的面積最大，最大面積是8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形，二次函數(shù)的最值以及正方形的判定，本題中求證△ADF≌△CEF是解題的關(guān)鍵．