Question

8．如圖；拋物線y=ax²+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（-1，0），請回答下列問題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接BD，求BD的長．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MBC的面積是4？若存在請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請說明不存在的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（-1，0），可以求得拋物線的解析式；
（2）將第（1）問求得的拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式可以求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E的坐標(biāo)，由B（-1，0），從而可以求得BE、DE的長，進(jìn)而可以求得BD的長；
（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)第（1）問求得的函數(shù)解析式可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可以得到BC的長度，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)△MBC的面積是4，可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a+2×（-1）+c=0}\end{array}\right.$
解得，a=-1，c=3，
即拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；
（2）∵物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，B（-1，0），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，0），
∴DE=4，BE=2，
∴$BD=\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
即BD的長是$2\sqrt{5}$；
（3）在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)M，使得△MBC的面積是4．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m），
由-x²+2x+3=0得x=-1或x=3，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∴BC=3-（-1）=4，
∵△MBC的面積是4，
∴${S}_{△BCM}=\frac{BC×|m|}{2}=\frac{4×|m|}{2}=4$，
解得，m=±2，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、求函數(shù)的解析式、勾股定理、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是明確題意，會求函數(shù)的解析式，能利用勾股定理可以求得直角三角形中某一邊的長度，會求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，會利用三角形的面積探究拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)．