(原創(chuàng)題)如圖,以等邊△OAB的邊OB所在直線為x軸,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),使點(diǎn)A在第一象限建立平面直角坐標(biāo)系,其中△OAB邊長(zhǎng)為4個(gè)單位,點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿折線OAB向B點(diǎn)以2個(gè)單位/秒的精英家教網(wǎng)速度向終點(diǎn)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒).
①直接寫(xiě)出P與Q點(diǎn)的坐標(biāo),并注明t的取值范圍;
②當(dāng)t=
 
時(shí),PQ⊥OA;當(dāng)t=
 
時(shí),PQ⊥AB;當(dāng)t=
 
時(shí),PQ⊥OB;
③△OPQ面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并指出S的最大值;
④若直線PQ將△OAB分成面積比為3:5兩部分,求此時(shí)直線PQ的解析式;若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)當(dāng)P在OA上,即0≤t≤2;當(dāng)P在AB上,即2<t≤4,分別過(guò)P作x軸的垂線,利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)PQ⊥AB,即∠OQP=30°,利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OQ=2OP,即4-t=2•2t;當(dāng)PQ⊥AB,同理得到BQ=2PB,即t=2(8-2t);當(dāng)PQ⊥OB,由(1)得P點(diǎn)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)總是相等的,得到OQ=BQ,即4-t=t;分別解出t的值即可;
(3)分類(lèi)討論:當(dāng)0≤t≤2時(shí),S=
1
2
•(4-t)•
3
t=-
3
2
t2+2
3
t;當(dāng)2<t≤4時(shí),S=
1
2
•(4
3
-
3
t)•(4-t)=
3
2
(t-4)2,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可得到S的最大值;
(4)討論:①當(dāng)P在OA、Q在OB上,即0≤t≤2時(shí),若S△OPQ=
3
8
S△AOB;若S△OPQ=
5
8
S△AOB,分別建立方程,解方程求出t的值,確定P與Q的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線PQ的解析式;②同樣的方法去求當(dāng)P在AB、Q在OB上,即2<t≤4時(shí),P與Q的坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)P(t,
3
t)(0≤t≤2);P(t,4
3
-
3
t)(2<t≤4);Q(4-t,0);

(2)如圖,當(dāng)PQ⊥AB,即∠OQP=30°,
∵OP=2t,OQ=4-t,
∴OQ=2OP,即4-t=2•2t,解得t=
4
5

當(dāng)PQ⊥AB,即有∠PQB=30°,
∵BP=8-2t,BQ=t,精英家教網(wǎng)
∴BQ=2PB,即t=2(8-2t),解得t=
16
5

當(dāng)PQ⊥OB,由(1)得P點(diǎn)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)總是相等的,
∴OQ=BQ,即4-t=t,解得t=2;
故答案為
4
5
;
16
5
;2.

(3)①當(dāng)0≤t≤2時(shí),S=
1
2
•(4-t)•
3
t=-
3
2
t2+2
3
t,
∴當(dāng)t=-
2
3
2•(-
3
2
)
=2時(shí),S有最大值,其最大值=
0-(2
3
) 2
4•(-
3
2
)
=2
3
;精英家教網(wǎng)
②當(dāng)2<t≤4時(shí),S=
1
2
•(4
3
-
3
t)•(4-t)=
3
2
(t-4)2,
∴在2<t≤4范圍內(nèi),S隨t的增大而減小,并且當(dāng)t=2時(shí),S的最大值為2
3
,
∴2<t≤4時(shí),S<2
3
;
綜上所述,當(dāng)t=2時(shí),S有最大值2
3
;

(4)S△AOB=
3
4
•42=4
3

①當(dāng)P在OA、Q在OB上,即0≤t≤2時(shí),
若S△OPQ=
3
8
S△AOB,
-
3
2
t2+2
3
t
=
3
2
3
,解得t=1或3(舍去),
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,
3
)、Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),
設(shè)直線PQ的解析式為:y=kx+b,
∴k+b=
3
,3k+b=0,解得k=-
3
2
,b=
3
3
2

y=-
3
2
x+
3
2
3
;
若S△OPQ=
5
8
S△AOB,所列方程無(wú)解;
②當(dāng)P在AB、Q在OB上,即2<t≤4時(shí),S△PQB=-
3
2
t2+2
3
t
,
和①一樣分別令S△PQB等于
3
8
S△AOB,
5
8
S△AOB,解得t=3,
此時(shí)P為(3,
3
)、Q為(1,0),
用待定系數(shù)數(shù)法解得直線PQ的解析式為:y=
1
2
3
x-
1
2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用待定系數(shù)法求直線的解析式的方法:設(shè)直線的解析式為:y=kx+b,然后把兩確定的點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k與b即可.也考查了等邊三角形的性質(zhì)和含30°的直角三角形三邊的關(guān)系、二次函數(shù)的最大值問(wèn)題以及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.
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②當(dāng)t=______時(shí),PQ⊥OA;當(dāng)t=______時(shí),PQ⊥AB;當(dāng)t=______時(shí),PQ⊥OB;
③△OPQ面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并指出S的最大值;
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①直接寫(xiě)出P與Q點(diǎn)的坐標(biāo),并注明t的取值范圍;
②當(dāng)t=______時(shí),PQ⊥OA;當(dāng)t=______時(shí),PQ⊥AB;當(dāng)t=______時(shí),PQ⊥OB;
③△OPQ面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并指出S的最大值;
④若直線PQ將△OAB分成面積比為3:5兩部分,求此時(shí)直線PQ的解析式;若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.

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