Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，tanC=3．點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)D、E，EF⊥AC，垂足為F，且BD=2EF．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）連接AE，若⊙O的半徑r=3，求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥AC于H，連接OE，根據(jù)題意證明四邊形OEFH是矩形，根據(jù)d=r證明即可；
（2）作OG⊥BC于G，根據(jù)正切的概念和垂徑定理求出BE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出AC，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：作OH⊥AC于H，連接OE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB=∠C，
∴OE∥AC，
∴∠OEF=∠EFH=∠OHF=90°，
∴四邊形OEFH是矩形，
∵BD=2EF，
∴OH=$\frac{1}{2}$BD，OH⊥AC，
∴直線AC是⊙O的切線；
（2）解：作OG⊥BC于G，
∵tanC=3，
∴tanB=3，即OG=3BG，又OB=3，
∴BG=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵OG⊥BE，
∴BE=2BG=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∵EF=r=3，tanC=3，
∴FC=1，
∴EC=$\sqrt{10}$，
∵OE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{OE}{AC}$，即$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{5}}{\frac{8\sqrt{10}}{5}}=\frac{3}{AC}$，
解得，AC=8，
∴AF=AC-FC=7，
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{58}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定定理、矩形的性質(zhì)和判定定理、相似三角形的判定和性質(zhì)定理以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑．