Question

15．在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N．動點P從點B出發(fā)沿射線BA以每秒$\sqrt{3}$厘米的速度運(yùn)動．同時，動點Q從點N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動，且始終保持MQ⊥MP設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．
（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由；
（2）探求BP²，PQ²，CQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過垂直的定義、直角三角形中的兩個銳角互余以及等量代換，可以證得△PBM與△QNM中的兩個角對應(yīng)相等，所以這兩個三角形一定相似；
（2）PQ²=BP²+CQ²．作輔助線延長QM至點D，使MD=MQ．連接PD、BD構(gòu)建平行四邊形BDCQ．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²；最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)知PQ=PD，所以由等量代換證得該結(jié)論．

解答 解：（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如圖1，∵M(jìn)Q⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代換）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的兩個銳角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的兩個銳角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代換）．
∴△PBM∽△QNM；

（2）PQ²=BP²+CQ²．
證明如下：如圖1，延長QM至點D，使MD=MQ．連接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四邊形BDCQ為平行四邊形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四邊形的對邊平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直的定義、直角三角形中的兩個銳角互余，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，綜合性較強(qiáng)，難度較大．