Question

如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，⊙O與BC相切于點(diǎn)C，⊙O與AC相交于點(diǎn)D，則陰影部分的面積為

 

cm²．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算,等邊三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì)

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)，由三角形ABC與⊙O等高即可得出圓的半徑，再根據(jù)⊙O與BC相切于點(diǎn)C可知OC⊥BC，故可得出∠OCD的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求出∠COD的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OF及CF的長(zhǎng)，由S_陰影=S_扇形-S_△OCD即看得出結(jié)論．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，
∵△ABC是等邊三角形，AB=4，
∴AE=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm）．
∵等邊三角形ABC與⊙O等高，
∴OD=

3

．
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥BC，
∴∠OCD=90°-60°=30°．
∵OD=OC，
∴∠COD=180°-30°-30°=120°，
∴OF=

1

2

OC=

3

2

，CF=OC•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴CD=2CF=3，
∴S_陰影=S_扇形-S_△OCD=

120π×( 3 )2

360

-

1

2

×3×

3

2

=（π-

3 3

4

）cm²．
故答案為：π-

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟知等腰三角形的性質(zhì)及扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．