Question

3．如圖，在?ABCD中，AD=2AB，CM⊥AD，CN⊥AB，垂足分別為M、N，連接MN，ND．則下列結(jié)論一定正確的是①②③④．（請(qǐng)將序號(hào)在填在橫線上）
①CN=2CM；
②∠NAD=∠NCM；
③S_△NCD=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}；
④AM²-AN²=3CM²．

Answer 1

分析 連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，通過(guò)△BCN∽△CDM，得到$\frac{CN}{CM}=\frac{BC}{CD}$=2，于是得到CN=2CM；故①正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠NAD=∠B，ACM=∠CMD=90°由余角的性質(zhì)得到∠B=∠MCN，等量代換得到∠NAD=∠NCM，故②正確；根據(jù)三角形的面積和平行四邊形的面積即可得到S_△NCD=$\frac{1}{2}$CD•CN=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，故③正確；根據(jù)勾股定理即可得到AM²-AN²=3CM²．故④正確．

解答 解：連接AC，
在?ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∵AD=2AB，
∴BC=2CD，
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠BNC=∠CMD=90°，
∴△BCN∽△CDM，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{BC}{CD}$=2，
∴CN=2CM；故①正確；
∵AD∥BC，
∴∠NAD=∠B，ACM=∠CMD=90°
∵∠B+∠BCN=∠BCN+∠MCN=90°，
∴∠B=∠MCN，
∴∠NAD=∠NCM，故②正確；
∵S_△NCD=$\frac{1}{2}$CD•CN=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，故③正確；
在Rt△ACM中，AM²+CM²=AC²，
在Rt△ACN中，AN²+CN²=AC²，
∴AM²-AN²=CN²-CM²，
∵CN=2CM，
∴AM²-AN²=3CM²．故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．