Question

已知關(guān)于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）判斷命題：“無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根”的真假，如果是真命題請給出證明：如果是假命題請舉一個反例．
（2）若m≠0，設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若，當(dāng)m的取值范圍滿足什么條件時，．

Answer 1

解：（1）此命題是假命題．例如，當(dāng)m=0時，由已知方程得
-2x+2=0，
解得，x=1，即原方程有一個實數(shù)根；
故“無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題；

（2）∵方程的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），且m≠0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴=；
又∵，
∴≤，即2|m|≤ ①，
①當(dāng)m＞0時，由不等式①，得
2m²-5m-4≤0，
解得，0＜m≤；
②當(dāng)m＜0時，由不等式①，得
2m²+5m+4≥0，解得，
m∈R，且m≠0，
∴m＜0．
綜上可知0＜m≤或m＜0時，．
分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義知，二次項系數(shù)不為零．故m=0時，已知方程有一個實數(shù)根；
（2）根據(jù)根與實數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂=，x₁•x₂=；然后將其代入已知等式求得y的值；最后由不等式來求m的取值范圍．
點評：本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系．解答該題時，需要牢記一元二次方程的定義．