已知四邊形ABCD中，BC=DC，對角線AC平分∠BAD．
（1）作CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別為垂足．求證：△BCE≌△DCF．
（2）如果AB=21，AD=9．BC=DC=10，求對角線AC的長．

（1）證明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB，CF⊥AD；
∴CF=CE；
又∵CD=BC；
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．

（2）解：取AG=AD，作CH⊥AB，垂足為H，
得△ADC≌△AGC，
∴AG=AD=9，CG=CD=10；
∴CG=CB；
∴△CGB為等腰三角形．
∵GB=AB-AG=21-9=12，GH=HB=6；
∴CH2=100-36=64，
∴CH=8；
∴AH=AG+GH=9+GB=9+6=15；
Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2=152+82=172
∴AC=17．
分析：（1）由角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，易證明△BCE≌△DCF．
（2）需要作一條輔助線，可在AB上取一點G使AG=AD，則有△ADC≌△AGC，易證△CGB為等腰三角形，過C作CH⊥GB，在Rt△ACH中可求得AC的長．
點評：此題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等及三角形全等的證明，輔助線、勾股定理的利用等知識點，推理較為復雜．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四邊形ABCD中，BC=CD=DB，∠ADB=90°，cos∠ABD=
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．
求S△ABD：S△BCD．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

26、已知四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=90°，根據(jù)這樣的條件，能判定這個四邊形是正方形嗎？若能，請你指出判定的依據(jù)；若不能，請舉出一個反例（即畫出一個四邊形滿足上述條件，但不是正方形），并指出若再添加一個什么條件，就可以判定這個四邊形是正方形，你能指出幾種情況嗎？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知四邊形ABCD中，給出下列四個論斷：（1）AB∥CD，（2）AB=CD，（3）AD=BC，（4）AD∥BC．以其中兩個論斷作為條件，余下兩個作為結(jié)論，可以構(gòu)成一些命題．在這些命題中，正確命題的個數(shù)有（　　）
A、2個B、3個C、4個D、6個

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

選做題：（A）已知四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，∠OBC=∠OCB，并且
 
，求證：四邊形ABCD是
 
形．（要求在已知條件中的橫線上補上一個條件
 
，在求證中的橫線上添上該四邊形的形狀，然后畫出圖形，予以證明，證明時要用上所有條件）
（B）某市市委、市府2001年提出“工業(yè)立市”的口號，積極招商引資，財政收入穩(wěn)步增長，各年度財政收入如下表：
年 份 2001 2002 2003 2004 …
財政收入
單位（億元）		 10 10.5 12 14.5 …
按這種增長趨勢，請你算一算2006年該市的財政收入是多少億元．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，
①求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
②探索下列問題，并選擇一個進行證明．
a．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足
AC⊥BD
AC⊥BD
時，四邊形EFGH是矩形．
b．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足
AC=BD
AC=BD
時，四邊形EFGH是菱形．
c．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足
AC⊥BD且AC=BD
AC⊥BD且AC=BD
時，四邊形EFGH是正方形．

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