Question

【題目】根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行證明：
（1）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P，求證：AP=BQ．
（2）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D且∠A=∠D．求∠D的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°，

∵DP⊥AQ，

∴∠ADP+∠DAP=90°，

∴∠BAQ=∠ADP，

∵AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P，

∴∠AQB=∠DPA=90°，

在△AQB和△DPA中，

∵ ，

∴△AQB≌△DPA（AAS），

∴AP=BQ；

（2）如圖，連接OC，

∵CD是⊙O 的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠COB+∠D=90°，

由圓周角定理得∠COB=2∠A，

∵∠A=∠D，

∴2∠A+∠A=90°，

∴∠A=30°，

∴∠D=30°．

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)知AD=BA、∠BAD=90°，由AQ⊥BE、DP⊥AQ知∠BAQ=∠ADP、∠AQB=∠DPA=90°，即可證△AQB≌△DPA得AP=BQ；（2）由切線的性質(zhì)知∠OCD=90°即∠COB+∠D=90°，由圓周角定理知∠COB=2∠A，結(jié)合∠A=∠D可得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，以及對(duì)切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．