Question

16．四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的兩條，切點(diǎn)分別為B、C，P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，連接OC．
①求∠E的度數(shù)；
②求CE的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，且AP＜$\frac{1}{2}$AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作FP⊥DP于點(diǎn)P，交BE于點(diǎn)F，連接DF．
①試判斷DP與FP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②若$\frac{BD}{DF}=\frac{10}{11}$，求DP的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)切線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，即可得到四邊形OBEC的三個(gè)直角，隨后即可求解；
②在等腰直角三角形BCE中運(yùn)用勾股定理即可求出CE長(zhǎng)度；
（2）①在AD上截取AM=AP，證明△DMP≌△PBF，即可得出結(jié)論；
②通過(guò)證明等腰直角三角形DPF∽等腰直角三角形ABD，即可求解．

解答 解：（1）如圖1

①∵EB、EC是⊙O的兩條切線，
∴∠OCE=∠OBE=90°，
由四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，
可知，∠BOC=90°，
∴∠E=90°；
∵EB、EC是⊙O的兩條切線，
∴EB=EC，
在直角三角形BEC中，
設(shè)EB=EC=x，由勾股定理得：x²+x²=8²，
解得：x=$4\sqrt{2}$，
∴CE=$4\sqrt{2}$；
（2）如圖2

在AD上截取AM=AP，由∠A=90°可求∠AMP=∠APM=45°，
∴∠PMD=135°，
∵AD=AB，
∴MD=BP，
由（1）②知三角形BEC是等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°，
∴∠PBF=135°，
∴∠PMD=∠PBF，
又可求：∠BPF+∠BFP=45°，
∵FP⊥DP，
∴∠MPD+∠BPD=45°，
∴∠MPD=∠BFP，
在△MPD和△BFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPD=∠BFP}\\{∠PMD=∠PBF}\\{MD=BP}\end{array}\right.$，
∴△MPD≌△BFP，
DP=FP；
②由（2）①知，△DPF為等腰直角三角形，
又△DAB是等腰直角三角形，
∴△DPF∽△DAB，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{AD}{DP}$，
∵$\frac{BD}{DF}=\frac{10}{11}$，AD=8，
可求：DP=$\frac{44}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查圓的綜合問(wèn)題，涉及到了正方形的相關(guān)性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用切線性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理，會(huì)構(gòu)造全等與相似是解題的關(guān)鍵．