Question

已知，如圖，設(shè)∠MON=20°，A為OM上一點(diǎn)，OA=4

3

，D為ON上一點(diǎn)，OD=8

3

，C為A由任一點(diǎn)，B是OD上任意一點(diǎn)．求：折線ABCD的長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析：作A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，作D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，連接OA′、OD′、A′D′，由折線ABCD長(zhǎng)=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′，然后轉(zhuǎn)化為求A′D′的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理及軸對(duì)稱的性質(zhì)即可解答．

解答：解：作A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，
連接A'B，作D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D′，
連接CD′，連接OA′、OD′、A′D′（如圖）
∴AB=A′B，CD=CD′，
由折線ABCD長(zhǎng)=AB+BC+CD，而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′，
∴折線ABCD長(zhǎng)的最小值是線段A′D′的長(zhǎng)，
∵∠NOA′=∠MON=20°，∠D′OM=∠MON=20°，
∴∠D′OA′=60°，
又∵OA′=OA=4

3

，OD′=OD=8

3

，
∴∠OA′D′=90°，
∴A'D'=

OD′2-OA′2

=

(8 3 )2-(4 3 )2

=12．
∴折線ABCD長(zhǎng)度的最小值為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)將所求的線段和轉(zhuǎn)化為一條線段上去．