Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，過BC上一點E作直線EH，交CD于點F，交AD的延長線于點H，且EF=FH．
（1）求證：AD=DH+BE．
（2）若AB=10，CD=18，∠ADC=60°，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：過點E作EM∥AD，交CD于點M，
∴∠H=∠FEM，
∵EF=FH，∠DFH=∠EFM，
∴△DFH≌△MFE，
∴DH=EM，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠C=∠ADC．
∵EM∥AD，
∴∠ADC=∠EMC，
∴∠C=∠EMC．
∴EM=EC，
∴DH=EC，
∵BC=BE+EC，AD=BC，
∴AD=BE+DH；

（2）解：過點A作AG⊥CD于點G，
∵在梯形ABCD中，AD=BC，AB=10，CD=18，
∴DG=（18-10）÷2=4，
∵在Rt△ADG中，∠ADC=60°，
∴AG=4，
∴S_梯形ABCD=×（10+18）×4=56．
分析：（1）過點E作EM∥AD，交CD于點M，由平行線的性質(zhì)得出∠H=∠FEM，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△DFH≌△MFE，故可得出DH=EM，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠C=∠ADC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADC=∠EMC，故∠C=∠EMC，所以EM=EC，DH=EC，故可得出結(jié)論．
（2）過點A作AG⊥CD于點G，由等腰梯形的性質(zhì)可求出DG的長度，在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義得出AG的長，再由S_梯形ABCD=×（AB+CD）×AG即可得出結(jié)論；
點評：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形及等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．