Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點(diǎn)D在BC邊上，且∠CAD=∠B．
（1）求AD的長(zhǎng)．
（2）取AD、AB的中點(diǎn)E、F，連接CE、CF、EF，求證：△CEF∽△ADB．

Answer 1

（1）解：∵∠ACB=∠DCA=90°，∠CAD=∠B，
∴△ACB∽△DCA，
∴，
∵AC=2，CB=4，
∴DC=1，
在Rt△ACD中，DC²+AC²=AD²，
∴，
答案為：AD的長(zhǎng)是．

（2）證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，AB中點(diǎn)，
∴，即，
在Rt△ACD中，E是AD中點(diǎn)
∴，
即，
∵F為AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，
∴CF=AB，
即，
∴，
∴△CEF∽△ADB．
分析：（1）小題是先證明△ACB 和△DCA相似，求出DC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求出AD；
（2）小題根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和三角形的中位線的性質(zhì)推出三邊對(duì)應(yīng)成比例即可證出△CEF和△ADB相似．
點(diǎn)評(píng)：（1）小題主要考查對(duì)相似三角形的性質(zhì)的理解和掌握，突破點(diǎn)是由相似得到正確的比例式；（2）小題的難點(diǎn)是找證兩三角形相似的條件．難度適中，題型較好．