Question

2．如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的高，此圓在沿底邊AB滾動，切點為T，圓交AC、BC于M、N，則對于所有可能的圓的位置而言，$\widehat{MTN}$的度數(shù)為（　�。�

• A． 從30°到60°變動
• B． 從60°到90°變動
• C． 保持30°不變
• D． 保持60°不變

Answer 1

分析 過點O作OH∥AC，交AB與點H，交BC于點Z，過點O作OE∥BC，交AB的延長線于點E，連接OM，ON，過點M作MG⊥OH于點G，作NK⊥OE于點K，根據(jù)△ACB是等邊三角形可知∠A=∠ACB=∠ABC=60°，故可判斷出∠HOE=60°，再由HL定理得出△OMG≌△ONK，故可得出∠MOG=∠KON，故∠MON=60°，由此可得出結(jié)論．

解答 解：過點O作OH∥AC，交AB與點H，交BC于點Z，過點O作OE∥BC，交AB的延長線于點E，連接OM，ON，過點M作MG⊥OH于點G，作NK⊥OE于點K，
∵△ACB是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°．
∵OE∥BC，
∴∠ACB=∠CZO=60°．
∴∠HZB=60°．
∵OE∥CB，
∴∠EOH=∠HZB=60°．
∵OC∥AB，
∴四邊形AHOC是平行四邊形，
∴∠A=∠COZ=60°，
∴△OZC是等邊三角形，
∵M(jìn)G⊥OH，NK⊥OH，
∴MG，NK均為△OZC的高，
∴MG=NK．
在Rt△OMG與Rt△ONK中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OM=ON\\ MG=NK\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONK（HL），
∴∠MOG=∠KON，
∴∠MON=60°，
∴$\widehat{MTN}$的度數(shù)為60°．
故選D．

點評 本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形及等邊三角形，利用圓心角與弧的關(guān)系求解是解答此題的關(guān)鍵．