Question

如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)作對(duì)角線BD的平行線，在這條線上取一點(diǎn)E，使BE=BD，連結(jié)DE，BE交AD于F，求證：DE²=EF•DB．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作輔助線，構(gòu)造直角三角形，求出∠DBE的度數(shù)，進(jìn)而求出∠DFE的度數(shù)；證明△DEF∽△BED，問題即可解決．

解答：證明：如圖，連接AC，過點(diǎn)E作EP⊥BD于點(diǎn)P；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=

1

2

AC=

1

2

BD；
又∵AE∥BD，
∴四邊形AEPO是矩形，
∴EP=AO=

1

2

BD，
又∵BE=BD，
∴EP=

1

2

BE，
∴∠EBP=30°；
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=

180°-30°

2

=75°，
∵∠DFE=45°+30°=75°，
∴∠DEF=∠DFE=∠BDE=75°，
∴△DEF∽△BED，
∴

DE

DB

=

EF

DE

，
∴DE²=EF•DB．

點(diǎn)評(píng)：該命題以正方形為載體，在考查正方形性質(zhì)定理的同時(shí)，重點(diǎn)考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、相似三角形的判定及其應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)；準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．