Question

如圖所示，拋物線與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)以為直徑作過拋物線上一點(diǎn)作的切線切點(diǎn)為并與的切線相交于點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)連結(jié)

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若四邊形的面積為求直線的函數(shù)關(guān)系式；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形的面積等于的面積？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）因?yàn)閽佄锞�與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：

∵拋物線與軸交于點(diǎn)

∴

∴

所以，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：

又

因此，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）連結(jié)∵是的兩條切線，

∴∴

又四邊形的面積為∴∴

又∴

因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，切點(diǎn)在第一象限.

在直角三角形中，

∴∴

過切點(diǎn)作垂足為點(diǎn)

∴

因此，切點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為將的坐標(biāo)代入得

解之，得

所以，直線的函數(shù)關(guān)系式為

當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，切點(diǎn)在第四象限.

同理可求：切點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的函數(shù)關(guān)系式為

因此，直線的函數(shù)關(guān)系式為

或

（3）若四邊形的面積等于的面積

又

∴

∴兩點(diǎn)到軸的距離相等，

∵與相切，∴點(diǎn)與點(diǎn)在軸同側(cè)，

∴切線與軸平行，

此時(shí)切線的函數(shù)關(guān)系式為或

當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，由得，

故滿足條件的點(diǎn)的位置有4個(gè)，分別是