Question

（2012•沙灣區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

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x2+bx+c經(jīng)過A（0，-4）、B（x₁，0）、C（x₂，0），且x₂-x₁=5．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△DBO是以O(shè)B為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)等腰三角形是否為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）連接AB，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把A（0，-4）代入可求c，運(yùn)用兩根關(guān)系及x₂-x₁=5，對(duì)式子合理變形，求b；
（2）作BC的中垂線，則與拋物線的交點(diǎn)即是要找的位置，然后驗(yàn)證△DBO是否為等腰三角形．
（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)可得出直線AB的解析式，然后可得出點(diǎn)E及點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，繼而可表示出h的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

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x2+bx+c經(jīng)過A（0，-4），
∴c=-4，
又∵x₁、x₂是方程-

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x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=

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2

b，x₁x₂=-

3

2

c，
由已知得：（x₂-x₁）²=25，
又（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=

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4

b²-24=25，
解得：b=±

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，
當(dāng)b=

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時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-

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，
故拋物線的解析式為：y=-

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x2-

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x-4．
（2）由拋物線解析式可得：點(diǎn)B坐標(biāo)為：（-6，0），則D是直線x=-3與拋物線的交點(diǎn)，即可得點(diǎn)D坐標(biāo)為：（-3，4），
此時(shí)BO上的高等于4，而BO=6，即BO上的高不等于斜邊BO的一半，
故△OBD不是等腰直角三角形．
（3）由拋物線解析式可得點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（-6，0），
故可得直線AB的解析式為：y=-

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x-4，
則可得：點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為：-

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x-4，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為：-

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3

x²-

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x-4，
則h=(-

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x2-

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x-4)-(-

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3

x-4)=-

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3

x2-4x（-6＜x＜0）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根與系數(shù)的關(guān)系及等腰直角三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一些基本知識(shí)，達(dá)到融會(huì)貫通的程度．